جواب کاردرکلاس صفحه 136 ریاضی دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 136 - تمرین 1 سلام به شما دانش‌آموزان عزیز. برای نوشتن معادله یک دایره، به دو جز اصلی نیاز داریم: **مختصات مرکز دایره** $(h, k)$ و **اندازه شعاع** ($r$). فرمول کلی معادله دایره به صورت زیر است: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ **حل بخش الف:** در این قسمت مرکز دایره مبدأ مختصات $(0, 0)$ و شعاع آن $2$ است. با جایگذاری در فرمول داریم: $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$ $x^2 + y^2 = 4$ **حل بخش ب:** مشابه قسمت قبل، مرکز مبدأ $(0, 0)$ است اما شعاع را به صورت پارامتری $r$ در نظر می‌گیریم: $x^2 + y^2 = r^2$ **حل بخش پ:** ابتدا باید **شعاع** را به دست آوریم. شعاع دایره، فاصله مرکز تا هر نقطه‌ای روی دایره است. مرکز: $O(2, -1)$ ، نقطه روی دایره: $A(3, -1)$ فرمول فاصله دو نقطه: $r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ $r = \sqrt{(3 - 2)^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1$ حالا با داشتن مرکز $(2, -1)$ و شعاع $r = 1$، معادله را می‌نویسیم: $(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = 1^2$ $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 1$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 136 - تمرین 2 برای تعیین وضعیت یک نقطه نسبت به دایره، مختصات نقطه را در معادله دایره قرار می‌دهیم: ۱. اگر حاصل برابر $r^2$ شد، نقطه **روی دایره** است. ۲. اگر حاصل بزرگ‌تر از $r^2$ شد، نقطه **بیرون دایره** است. ۳. اگر حاصل کوچک‌تر از $r^2$ شد، نقطه **درون دایره** است. **تحلیل ردیف اول:** معادله: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$ مرکز: $O(-2, 3)$ و شعاع: $r = 2$ (چون $r^2 = 4$) * **نقطه $A(1, 1)$:** $(1 + 2)^2 + (1 - 3)^2 = 3^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13$ چون $13 > 4$ است، نقطه $A$ **بیرون دایره** قرار دارد. * **نقطه $B(0, 3)$:** $(0 + 2)^2 + (3 - 3)^2 = 2^2 + 0^2 = 4$ چون حاصل دقیقاً برابر $4$ شد، نقطه $B$ **روی دایره** قرار دارد. * **نقطه $C(-2, 4)$:** $(-2 + 2)^2 + (4 - 3)^2 = 0^2 + 1^2 = 1$ چون $1 < 4$ است، نقطه $C$ **درون دایره** قرار دارد. **تحلیل ردیف دوم:** مرکز $(-2, 1)$ و شعاع $3$ است. معادله دایره: $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$ برای اینکه وضعیتی مثل «بیرون دایره» داشته باشیم، می‌توانیم هر نقطه‌ای که فاصله‌اش از مرکز بیشتر از ۳ باشد (مثلاً نقطه $(2, 1)$) را مثال بزنیم.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 136 - تمرین 3 **الف) استخراج مرکز و شعاع:** با مقایسه معادله $(x + 1)^2 + (y - 0)^2 = 4$ با فرمول استاندارد: **مرکز دایره:** $O(-1, 0)$ **شعاع دایره:** $r = \sqrt{4} = 2$ **ب) یافتن نقاط تقاطع:** * **تقاطع با محور $x$ها ($y=0$):** $(x + 1)^2 + 0^2 = 4 \Rightarrow (x + 1)^2 = 4 \Rightarrow x + 1 = \pm 2$ ۱) $x + 1 = 2 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow (1, 0)$ ۲) $x + 1 = -2 \Rightarrow x = -3 \Rightarrow (-3, 0)$ * **تقاطع با محور $y$ها ($x=0$):** $(0 + 1)^2 + y^2 = 4 \Rightarrow 1 + y^2 = 4 \Rightarrow y^2 = 3 \Rightarrow y = \pm\sqrt{3}$ نقاط تقاطع: $(0, \sqrt{3})$ و $(0, -\sqrt{3})$ **پ) رسم شکل:** برای رسم، ابتدا مرکز را در $(-1, 0)$ مشخص کنید. سپس به اندازه ۲ واحد در چهار جهت اصلی حرکت کنید تا دایره ترسیم شود. مشاهده خواهید کرد که دایره محور $x$ها را در $1$ و $-3$ قطع می‌کند که با محاسبات ما کاملاً همخوانی دارد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 136 - تمرین 4 در این تمرین باید از روی نمودار، مرکز و شعاع را تشخیص داده و معادله را بنویسیم. **تحلیل دایره سمت راست:** با شمارش خانه‌های شطرنجی، مرکز دایره در مختصات $O(2, -2)$ قرار دارد. فاصله مرکز تا لبه دایره ۳ خانه است، پس شعاع $r = 3$ می‌باشد. معادله: $(x - 2)^2 + (y - (-2))^2 = 3^2$ **$(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 9$** **تحلیل دایره سمت چپ:** مرکز این دایره روی محور $y$ها و در نقطه $O(0, 2)$ است. با شمارش خانه‌ها از مرکز تا محیط دایره، شعاع $r = 4$ واحد است. معادله: $(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 4^2$ **$x^2 + (y - 2)^2 = 16$**